数論 > 2次体に関する類体論 > 2次体の例3


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\mathbb{Q}(\sqrt{2}) における素数 p の運命(ただしp\neq2

p=(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2}) なる a,\ b\in\mathbb{Z} が存在するための必要十分条件は
p8 で割ったときの余りが 1 または 7 であること。

素数 余り 分解例(分解は一意ではない)
3 3 ×
5 5 ×
7 7 7=3^2-2\cdot1^2=(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})
11 3 ×
13 5 ×
17 1 17=5^2-2\cdot2^2=(5+2\sqrt{2})(5-2\sqrt{2})
19 3 ×
23 7 23=5^2-2\cdot1^2=(5+\sqrt{2})(5-\sqrt{2})
29 5 ×
31 7 31=7^2-2\cdot3^2=(7+3\sqrt{2})(7-3\sqrt{2})
37 5 ×
41 1 41=7^2-2\cdot2^2=(7+2\sqrt{2})(7-2\sqrt{2})
43 3 ×
47 7 47=7^2-2\cdot1^2=(7+\sqrt{2})(7-\sqrt{2})
53 5 ×
59 3 ×
61 5 ×
67 3 ×
71 7 73=11^2-2\cdot5^2=(11+5\sqrt{2})(11-5\sqrt{2})
73 1 73=9^2-2\cdot2^2=(9+2\sqrt{2})(9-2\sqrt{2})
79 7 79=9^2-2\cdot1^2=(9+\sqrt{2})(9-\sqrt{2})
83 3 ×
89 1 89=11^2-2\cdot4^2=(11+4\sqrt{2})(11-4\sqrt{2})
97 1 97=13^2-2\cdot6^2=(13+6\sqrt{2})(13-6\sqrt{2})
  • 分解の仕方は一意ではない…… \mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{2}\pm1)^n を単数に持つため。


誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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