4次元講座 > 【3】 4次元立方体の対角線


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さて,【まえがき】にも書きましたが,一辺の長さが1cmの正方形(2次元図形)の対角線の長さは\sqrt{2}cm,一辺の長さが1cmの立方体(3次元図形)の対角線の長さは\sqrt{3}cmとなりますので,「じゃあ一辺の長さが1cmの超立方体(4次元図形)の対角線の長さは\sqrt{4}=2cmとなるのかな?」と推測できます。

これについては,【2】 4次元の立方体とは違うモデルを用いて考察することにします。



【2】 4次元の立方体で,「超立方体は3次元の立方体を第4の方向に平行移動させた軌跡だ」という説明をしました。しかし我々は「第4の方向」がわからないため,しかたなく3次元空間内に「第4の方向」を描いてモデルを作りました。

今度は発想を大胆に転換し,平面(すなわち2次元空間)を勝手に「3次元空間」と思い込むことにしましょう。こう考えることによって,第4の方向を3次元空間の外にイメージしやすくなります。



……と言ったって,言葉の説明だけではわかりにくて当然ですね。次の図を見てください。


この図は,一辺の長さが1cmの立方体の絵を「平面」に描いたものです。この平面は本当は「2次元空間」ですが,そこに「3次元の立体」を描いてあるということは,言い換えればこの平面の中に「3つの方向を押し込んだ」と考えることができるわけです。

というわけで,以下,この平面を「3次元空間」と思い込んで話を進めることにします。こう考えれば,この「3次元空間」に垂直な「第4の方向」は簡単にイメージできます(下図)




繰り返しになりますが,超立方体は「3次元の立方体を第4の方向に平行移動させた軌跡」でした。そこで,この「3次元空間」に描かれた立方体を,実際に第4の方向に1cmだけ平行移動してみましょう。


さて,この図の中に「立方体」が何個隠れているでしょうか? まず上下の平面にそれぞれ1個ずつ,計2個の立方体はすぐにわかりますね。また,それらの立方体の各面は当然「正方形」で,その6枚の正方形を垂直な方向に1cm平行移動したのですから,この平行移動によって6個の立方体が作り出されています。(一辺の長さが1cmの正方形を底面とする高さ1cmの四角柱は「立方体」ですよね!?)

つまり,この図の中に合計で8個の立方体があることがわかりました。この結果は【2】 4次元の立方体の説明と一致しています。



ではいよいよ,超立方体の対角線の長さを計算してみましょう。もう一度同じ図を載せておきますので,この図を見ながら読み進めてください。


頂点Aから頂点Cまでの長さを求めることにします。まず下側の平面でAとBを結ぶ線分を考えると,これは立方体の対角線ですからAB=\sqrt{3}cmであることがわかります。また,CはBを第4の方向に1cm平行移動させた点ですからBC=1cmです。

ところで,第4の方向はもとの3次元空間(とみなした平面)と垂直でしたからAB⊥BC,すなわち△ABCは\angle\mathrm{B}=90^\circの直角三角形です。よって,AC=xcmとおけば,三平方の定理より

x^2=(\sqrt{3})^2+1^2

これを解けば x=2 ですから,これによって超立方体の対角線の長さは(予想通り)2cmとなることが確かめられました。








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