数論 > 拡大体とその部分体 > 具体例1

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具体例1:既約多項式 x^{2}+1 の零点による拡大体( x^{4}=1 による円分体)


\mathbb{Q}上の既約方程式 x^{2}=-1 の解は x=\pm i の2個である。
(これらはすべて,方程式 x^{4}=1 の解である。)

\mathbb{Q} の2次ガロア拡大体 \mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ |\ a,\ b\in\mathbb{Q}\ } を考える。

\mathbb{Q}(i) の写像 \sigma^n
  \sigma^n(i)=i^n
で定義すると,\mathbb{Q}(i)\mathbb{Q}上のガロア群G
  G = \{\ e,\ \sigma^3\ \}

  e \sigma^3
1 1 1
i i -i

よって,\mathbb{Q} の拡大体 \mathbb{Q}(i) には部分体(自明でない部分体)は存在しない。




誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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