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2次体の例1

最終更新：2013年02月19日 08:03

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$\mathbb{Q}(i)$ における素数 $p$ の運命（ただし $p\neq2$ ）

$p=(a+bi)(a-bi)$ なる $a,\ b\in\mathbb{Z}$ が存在するための必要十分条件は
$p$ を $4$ で割ったときの余りが $1$ であること。

素数	余り	分解例（分解は一意ではない）
3	3	×
5	1	$5=2^2+1^2=(2+i)(2-i)$
7	3	×
11	3	×
13	1	$13=3^2+2^2=(3+2i)(3-2i)$
17	1	$17=4^2+1^2=(4+i)(4-i)$
19	3	×
23	3	×
29	1	$29=5^2+2^2=(5+2i)(5-2i)$
31	3	×
37	1	$37=6^2+1^2=(6+i)(6-i)$
41	1	$41=5^2+4^2=(5+4i)(5-4i)$
43	3	×
47	3	×
53	1	$53=7^2+2^2=(7+2i)(7-2i)$
59	3	×
61	1	$61=6^2+5^2=(6+5i)(6-5i)$
67	3	×
71	3	×
73	1	$73=8^2+3^2=(8+3i)(8-3i)$
79	3	×
83	3	×
89	1	$89=8^2+5^2=(8+5i)(8-5i)$
97	3	×

分解の仕方は一意ではない…… $\mathbb{Q}(i)$ は $\pm i$ を単数に持つため。

誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

普通、分解の仕方が一意か否かは\mathbb{Z}[i]が一意分解環かどうかで区別しませんか？（つまり単数倍の差は分解の一意性を考えるときに無視しませんか？） (2010-06-05 23:16:31)
コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)

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