美しき等式たち


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★数式の記述を実験中。


e^z = 1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots


ここで,e
  • \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n の値
か,あるいは
  • \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=1 を満たす a の値
のいずれかで定義される定数(一方を定義とすれば,他方は定理となる)であるが,上の式にz=1を代入することによって
  • e = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots
という等式も得られる。


e^{iz} = \cos{z}+i\sin{z}


なぜなら,
  • \sin{z} = \frac{z}{1!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots
  • \cos{z} = 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots
であるから。


e^{\pi i} = -1

いわゆる「オイラーの等式」です。

連分数

http://homepage3.nifty.com/y_sugi/が素晴らしいですね




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