4次元講座 > 【2】 4次元の立方体


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大きさが1\mathrm{cm}^2の2次元立方体(=正方形)は,長さ1\mathrm{cm}の線分ABを,もとの線分と垂直な第2の方向に1\mathrm{cm}移動した軌跡として作られます。




大きさが1\mathrm{cm}^3の3次元立方体は,面積1\mathrm{cm}^2の正方形ABCDを,もとの線分と垂直な第3の方向に1\mathrm{cm}移動した軌跡として作られます。




以上のことから,大きさが1\mathrm{cm}^4の4次元立方体(以後,「超立方体」と呼びます)は,体積1\mathrm{cm}^3の立方体ABCD-EFGHを,もとの立方体と垂直な(!?)第4の方向に1\mathrm{cm}移動した軌跡として作られることがわかります。




ところで,正方形には4個の頂点と4本の辺があります。

正方形の4個の頂点は,移動前の線分の両端 A,B と,移動後の線分の両端 A',B' です。また,正方形の4本の辺(1\mathrm{cm}の線分)は,1本は移動前の線分,1本は移動後の線分,残る2本は,線分の両端がそれぞれ A→A',B→B' と移動した軌跡であることがわかります。



立方体には8個の頂点と12本の辺と6枚の面があります。


立方体の8個の頂点は,移動前の正方形の頂点 A,B,C,D と,移動後の正方形の頂点 A',B',C',D' です。また,立方体の12本の辺(1\mathrm{cm}の線分)は,4本は移動前の正方形の辺であり,4本は移動後の正方形の辺であり,残る4本は,正方形の頂点がそれぞれ A→A',B→B,C→C',D→D' と移動した軌跡であることがわかります。そして立方体の6枚の面(1\mathrm{cm}^2の正方形)は,1枚は移動前の正方形,1枚は移動後の正方形,残る4枚は,線分がそれぞれ AB→A'B',BC→B'C',CD→C'D',DA→D'A' と移動した軌跡であることがわかります。



さて,最後に超立方体について考察します。次の図を使って慎重に数えてみると,頂点が16個,辺が32本,面が24枚あることが確認できます。


16個の頂点は,移動前の立方体の頂点 A,B,C,D,E,F,G,H と,移動後の正方形の頂点 A',B',C',D',E',F',G',H' です。また,32本の辺(1\mathrm{cm}の線分)は,12本は移動前の立方体の辺であり,12本は移動後の立方体の辺であり,残る8本は,立方体の頂点がそれぞれ A→A',B→B,C→C',D→D',E→E',F→F,G→G',H→H' と移動した軌跡であることがわかります。そして24枚の面(1\mathrm{cm}^2の正方形)は,6枚は移動前の立方体の面,6枚は移動後の立方体の面,残る12枚は,線分がそれぞれ AB→A'B',BC→B'C',CD→C'D',DA→D'A',…… と移動した軌跡であることがわかります。

 超立方体にはさらに,1\mathrm{cm}^3の立方体が8個隠れています。これは,1次元の「辺(ここでは1\mathrm{cm}の線分)」,2次元の「面(ここでは1\mathrm{cm}^2の正方形)」の対応する言葉として「胞」と呼ぶのですが,この8個の胞(1\mathrm{cm}^3の立方体)は,1個は移動前の立方体,1個は移動後の立方体,残る6個は,面がそれぞれ ABCD→A'B'C'D',BCGF→B'C'G'F',…… と移動した軌跡です。



ここまでで述べたことを,表の形にまとめるとつぎのようになります。

1\mathrm{cm}の線分 1\mathrm{cm}^2の正方形 1\mathrm{cm}^3の立方体 1\mathrm{cm}^4超立方体
頂点の個数 2個 4個 8個 16個
辺の本数 1本 4本 12本 32本
面の枚数 × 1枚 6枚 24枚
胞の個数 × × 1個 8個

上の解説ではちょっとわかりにくかったかもしれませんが,この表内の各数字が「左上の数字」と「左の数字の2倍」を加えたものとなっていることを確認してください(下図も参照)。


このルールがわかると,5次元の立方体(1\mathrm{cm}^5)の頂点・辺・面・胞の数さえわかってしまいますね……! そしてさらに,6次元も,7次元も……!!



超立方体を構成する8個の胞(1\mathrm{cm}^3の立方体)は,次のように配置されています(ぜひとも自分の目で確認してみましょう)。


しかし,「このうちの2つ(または4つ)は立方体に見えるけど、残りはどう見ても立方体には見えない!」と思う人もいるでしょう。また,「立体同士の繋がり方をどう理解したらいいのかわからない」という疑問を抱く方もいるかもしれません。その辺りのところを,ちょっと補足して見たいと思います。



同じように,3次元の立方体を6枚の面(1\mathrm{cm}^2の正方形)に分解してみましょう。


この図は,違和感なく「6枚の1\mathrm{cm}^2の正方形」に見えるでしょう。ですが,このうちの4枚は,厳密に言えば次の図の平行四辺形と合同です。


つまり,我々が3次元の立体を2次元平面に描くときには,本来90度であるべき角を歪め,また本来同じ長さである辺も違う長さで描いていることがわかります。次元を落として図を描くときには,このような歪みを避けることはできないのです。

先ほど超立方体を8個の胞に分解しましたが,先ほどの超立方体の作り方によれば,これらの辺はすべて垂直で,また辺の長さはすべて1\mathrm{cm}だったのですから,8個ともすべて1\mathrm{cm}^3の立方体なのです。それらが立方体に見えないのは,次元を落として描いているために必然的に生じる「歪み」に過ぎません。



ところで,(3次元の)立方体では隣り合う面と面(1\mathrm{cm}^2の正方形)がそれぞれと辺(1\mathrm{cm}の線分)を共有しています。


この図は立方体の隣り合う2つの面(手前の面と左奥の面)を抜き出したものですが,太線で描いてあるところが「共有する辺」です。また,この図の「斜線部分」は2つの正方形が重なっているところです。「手前に見える面」と「奥に隠れて見えないはずの面」を両方描くと,このように2枚の面が重なる部分が生じるのです。



同様に,超立方体では隣り合う胞と胞(1\mathrm{cm}^3の立方体)がそれぞれ面(1\mathrm{cm}^2の正方形)を共有しています。


この図は超立方体の隣り合う2つの胞(1\mathrm{cm}^3の立方体)を抜き出したものですが,塗りつぶしてあるところが「共有する面」です。また,この図の「斜線部分」は2つの立方体が重なっているところです。「手前に見える胞」と「奥に隠れて見えないはずの胞」を両方描くと,このように2つの胞が重なる部分が生じるのです(第4の方向を知らない我々には「手前」と「奥」というのがまったくピンときませんが)。








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