驚くべき定理たち


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ここでは,証明を知ってもなお不思議さが残るような定理を紹介します。
(もっといろいろあるハズですから,思い出すたびに書き加えますよ。)


留数定理(複素関数論)

複素平面内の閉曲線 C の内部の領域を D とし,
D 内における関数 f(z) の特異点を z_1,\ z_2,\ \ldots,\ z_n とする。
また,各特異点における関数 f(z) の留数を \mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_r} とする。
このとき,
  \oint\nolimits_{C}f(z)\, dz = 2\pi i (\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_1}+\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_2}+\cdots+\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_n})
  • Dの内部に特異点が1つもない場合の等式が「コーシーの積分定理」に他ならない。


平方剰余の相互法則(初等整数論)



バナッハ・タルスキの定理





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