管理メニュー

参拾萬仮想大学

ゼータ関数

最終更新：

300000

- view
管理者のみ編集可
★ このページの記述は，すべて「解決！ フェルマーの最終定理」を根拠としています。（今のところは）
★ このページは，まだ書き途中です。


1次のゼータ


リーマンのゼータ関数

+ ... 
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}　（pは全ての素数をわたる）

ディレクレのL関数

+ ...
ある自然数Nに対して次の3条件を満たす対応\chiを考える。（この対応をディレクレ指標という。）
  1. a\equiv b \pmod{N}　\Longrightarrow　\chi(a)=\chi(b)
  2. \chi(ab) = \chi(a)\cdot\chi(b)
  3. aとNが互いに素でない　\Longleftrightarrow　\chi(a)=0
このとき，次の関数L(\chi,s)をディレクレのL関数という。 
L(\chi,s)=\sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)\cdot n^{-s}=\prod_{p}\frac{1}{1-\chi(p)\cdot p^{-s}}　（pはNの約数とならない全ての素数をわたる）
  • これは「リーマンのゼータ関数」の拡張である。（ディレクレのL関数において，ディレクレ指標を「すべてのaに対し\chi(a)=1」とすれば，「リーマンのゼータ関数」となる。）

具体例：方程式x^2=3のゼータ関数

+ ...
\alpha_p=\left(\frac{3}{p}\right)　（ただし \left(\frac{a}{p}\right) は平方剰余記号またはルジャンドル記号，Wikipedia 参照）とするとき， 
F(s)=\prod_{p}\frac{1}{1-\alpha_p\cdot p^{-s}}　（pは2,3以外のすべての素数をわたる）
  • これは，ディレクレのL関数において，ディレクレ指標を次のようにしたものである。
    • a\equiv 1または11\pmod{12} のとき \chi(a)=1
    • a\equiv 5または7\pmod{12} のとき \chi(a)=-1
    • それ以外のとき \chi(a)=0

2次のゼータ


上半平面上の保型形式 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n e^{2\pi inz} のゼータ関数

+ ...
保型形式fの重みをkとするとき， 
L(f,s)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cdot n^{-s}=\prod_{p}\frac{1}{1-a_p\cdot p^{-s}+p^{k-1-2s}} 　（pはすべての素数をわたる）
  • 上半平面上の保型形式 f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n e^{2\pi inz} のゼータ関数は，多くの場合に存在するが，必ず存在するわけではない。

楕円曲線 y^2=ax^3+bx^2+cx+d （a，b，c，d\in\mathbb{Z}）のゼータ関数

+ ...
0\leq x<p，0\leq y<p である整数の組(x,y)のうち，
y^2\equiv ax^3+bx^2+cx+d \pmod{p} を満たすものの個数をN_pとする。
a_p=p-N_pとするとき， 
F(s)=\prod_{p}\frac{1}{1-a_p\cdot p^{-s}+p^{1-2s}} 　（pは悪い素数を除くすべての素数をわたる）

具体例：ラマヌジャンのゼータ関数

+ ...
等式 x\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{n})^{24}=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)\cdot x^{n} で定義される対応\tauを考える。（\tau(n)は整数である。）
このとき， 
F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)\cdot n^{-s}=\prod_{p}\frac{1}{1-\tau(p)\cdot p^{-s}+p^{11-2s}} 　（pは全ての素数をわたる）


誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)






★　以下は広告です　★
「ゼータ関数」をウィキ内検索
記事メニュー
人気記事ランキング
  1. ４次元講座
  2. ４次元講座/【３】 ４次元立方体の対角線
  3. 美しき等式たち
  4. 嘘ニュース
  5. ４次元講座/【まえがき】
  6. ４次元講座/【２】 ４次元の立方体
  7. ４次元講座/【１】 ４次元空間とは
もっと見る
最近更新されたページ
もっと見る
目安箱バナー