数論 > 拡大体とその部分体 > 具体例10


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具体例10:既約多項式 x^{4}-3 の零点による拡大体


\mathbb{Q}上の既約方程式 x^{4}=3 の解は x=\pm\sqrt[4]{3},\ \pm\sqrt[4]{3}i の4個である。
ここで,\sqrt[4]{3}\alpha とおくと,4個の解は \pm\alpha,\ \pm \alpha i である。

\mathbb{Q} の8次ガロア拡大体
 \mathbb{Q}(\alpha,\ i)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+ei+f\alpha i+g\alpha^2 i+h\alpha^3 i\ |\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h\in\mathbb{Q}\ }
を考える。

\mathbb{Q}(\alpha,\ i)\mathbb{Q} 上の自己同型写像 \sigma\tau をそれぞれ
  \sigma(\alpha)=\alpha i,\ \sigma(i)=i
  \tau(\alpha)=\alpha,\ \tau(i)=-i
で定義すると,\mathbb{Q}(\alpha,\ i)\mathbb{Q}上のガロア群G
  G=<\ \sigma,\ \tau\ > = \{\ e,\ \sigma,\ \sigma^2,\ \sigma^3,\ \tau,\ \sigma\tau,\ \sigma^2\tau,\ \sigma^3\tau\ \}

  e \sigma \sigma^2 \sigma^3 \tau \sigma\tau \sigma^2\tau \sigma^3\tau
1 1 1 1 1 1 1 1 1
\alpha \alpha \alpha i -\alpha -\alpha i \alpha \alpha i -\alpha -\alpha i
\alpha^2 \alpha^2 -\alpha^2 \alpha^2 -\alpha^2 \alpha^2 -\alpha^2 \alpha^2 -\alpha^2
\alpha^3 \alpha^3 -\alpha^3 i -\alpha^3 \alpha^3 i \alpha^3 -\alpha^3 i -\alpha^3 \alpha^3 i
i i i i i -i -i -i -i
\alpha i \alpha i -\alpha -\alpha i \alpha -\alpha i \alpha \alpha i -\alpha
\alpha^2 i \alpha^2 i -\alpha^2 i \alpha^2 i -\alpha^2 i -\alpha^2 i \alpha^2 i -\alpha^2 i \alpha^2 i
\alpha^3 i \alpha^3 i \alpha^3 -\alpha^3 i -\alpha^3 -\alpha^3 i -\alpha^3 \alpha^3 i \alpha^3

このとき,「ガロア群 G の部分群」と「体\mathbb{Q}(\alpha,\ i)の部分体」との関係は,以下の通り;
\{\ e\ \} \mathbb{Q}(\alpha,\ i)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3+ei+f\alpha i+g\alpha^2 i+h\alpha^3 i\ \}
\{\ e,\ \tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha)=\{\ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3\ \}
\{\ e,\ \sigma^2\tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha i)=\{\ a+b\alpha i +c\alpha^2+d\alpha^3 i\ \}
\{\ e,\ \sigma^2\ \} \mathbb{Q}(\alpha^2,\ i)=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\ i)=\{\ a+b\sqrt{3}+ci+d\sqrt{3} i\ \}
\{\ e,\ \sigma\tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha+\alpha i)=\{\ a+b(\alpha+\alpha i)+c\alpha^2 i+d(\alpha^3-\alpha^3 i)\ \}
\{\ e,\ \sigma^3\tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha-\alpha i)=\{\ a+b(\alpha-\alpha i)+c\alpha^2 i+d(\alpha^3+\alpha^3 i)\ \}
\{\ e,\ \sigma^2,\ \tau,\ \sigma^2\tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha^2)=\mathbb{Q}(\sqrt{3})=\{\ a+b\sqrt{3}\ \}
\{\ e,\ \sigma,\ \sigma^2,\ \sigma^3\ \} \mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}
\{\ e,\ \sigma^2,\ \sigma\tau,\ \sigma^3\tau\ \} \mathbb{Q}(\alpha^2 i)=\mathbb{Q}(\sqrt{3}i)=\{\ a+b\sqrt{3}i\ \}
G \mathbb{Q}



誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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