数論 > 2次体に関する類体論 > 2次体の例5


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\mathbb{Q}(\sqrt{3}) における素数 p の運命(ただしp\neq2,\ 3

p=\pm(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) なる a,\ b\in\mathbb{Z} が存在するための必要十分条件は
p12 で割ったときの余りが 1 または 11 であること。

素数 余り 分解例(分解は一意ではない)
5 5 ×
7 7 ×
11 11 11=-1^2+3\cdot2^2=-(1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3})
13 1 13=4^2-3\cdot1^2=(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})
17 5 ×
19 7 ×
23 11 23=-2^2+3\cdot3^2=-(2+3\sqrt{3})(2-3\sqrt{3})
29 5 ×
31 7 ×
37 1 37=7^2-3\cdot2^2=(7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})
41 5 ×
43 7 ×
47 11 47=-1^2+3\cdot4^2=-(1+4\sqrt{3})(1-4\sqrt{3})
53 5 ×
59 11 59=-4^2+3\cdot5^2=-(4+5\sqrt{3})(4-5\sqrt{3})
61 1 61=8^2-3\cdot1^2=(8+\sqrt{3})(8-\sqrt{3})
67 7 ×
71 11 71=-2^2+3\cdot5^2=-(2+5\sqrt{3})(2-5\sqrt{3})
73 1 73=10^2-3\cdot3^2=(10+3\sqrt{3})(10-3\sqrt{3})
79 7 ×
83 11 83=-5^2+3\cdot6^2=-(5+6\sqrt{3})(5-6\sqrt{3})
89 5 ×
97 1 97=10^2-3\cdot1^2=(10+\sqrt{3})(10-\sqrt{3})
  • 分解の仕方は一意ではない…… \mathbb{Q}(\sqrt{3})(2\pm\sqrt{3})^n を単数に持つため。


上の表を作る過程で感じた疑問(要調査)

  • p=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) なる a,\ b\in\mathbb{Z} が存在する \Longleftrightarrow p12 で割ったときの余りが 1
  • p=-(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) なる a,\ b\in\mathbb{Z} が存在する \Longleftrightarrow p12 で割ったときの余りが 11
は正しいか?


誤りを見つけたらコメントとして記入してください。

コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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