数論 > 拡大体とその部分体 > 具体例6


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具体例6:既約多項式 x^8-x^6+x^4-x^2+1 の零点による拡大体( x^{20}=1 による円分体)


\mathbb{Q}上の既約方程式 x^8-x^6+x^4-x^2+1=0 の解は,
 x=e^{\frac{n\pi}{10}i}=\cos\frac{n\pi}{10}+i\sin\frac{n\pi}{10}n=\ 1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13\ 17,\ 19
の8個である。
(これらはすべて,方程式 x^{20}=1 の解である。)
ここで,{e^{\frac{\pi}{10}i}=\cos\frac{\pi}{10}+i\sin\frac{\pi}{10}{\xi_{20}} とおくと,8個の解は \pm{\xi_{20}},\ \pm{\xi_{20}}^3,\ \pm{\xi_{20}}^7,\ \pm{\xi_{20}}^9 である。

ちなみに,各 {\xi_{20}}^n の具体的な値を求めると,次のようになる;
  • {\xi_{20}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i
  • {\xi_{20}}^2=\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i
  • {\xi_{20}}^3=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}i
  • {\xi_{20}}^4=\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i
  • {\xi_{20}}^5=i
  • {\xi_{20}}^6=-\frac{\sqrt{5}-1}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i
  • {\xi_{20}}^7=-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}+1}{4}i
  • {\xi_{20}}^8=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i
  • {\xi_{20}}^9=-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{4}i
  • {\xi_{20}}^{10}=-1

なお,8次以上の項はすべて,7次以下の項の和で表すことができる。
なぜなら {\xi_{20}}^8-{\xi_{20}}^6+{\xi_{20}}^4-{\xi_{20}}^2+1=0 であるから。

\mathbb{Q} の8次ガロア拡大体
 \mathbb{Q}({\xi_{20}})=\{\ a+b{\xi_{20}}+c{\xi_{20}}^2+d{\xi_{20}}^3+e{\xi_{20}}^4+f{\xi_{20}}^5+g{\xi_{20}}^6+h{\xi_{20}}^7\ |\ a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h\in\mathbb{Q}\ \}
を考える。

\mathbb{Q}({\xi_{20}}) の写像 \sigma^n
  \sigma^n({\xi_{20}})={\xi_{20}}^n
で定義すると,
\mathbb{Q}({\xi_{20}})\mathbb{Q}上のガロア群G
  G=\{\ e,\ \sigma^3,\ \sigma^7,\ \sigma^9,\ \sigma^{11},\ \sigma^{13},\ \sigma^{17},\ \sigma^{19}\ \}

  e \sigma^3 \sigma^7 \sigma^9 \sigma^{11} \sigma^{13} \sigma^{17} \sigma^{19}
1 1 1 1 1 1 1 1 1
{\xi_{20}} {\xi_{20}} {\xi_{20}}^3 {\xi_{20}}^7 {\xi_{20}}^9 -{\xi_{20}} -{\xi_{20}}^7 -{\xi_{20}}^3 -{\xi_{20}}
{\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^8
{\xi_{20}}^3 {\xi_{20}}^3 {\xi_{20}}^9 {\xi_{20}} {\xi_{20}}^7 {\xi_{20}}^{13} {\xi_{20}}^{19} {\xi_{20}}^{11} {\xi_{20}}^^{17}
{\xi_{20}}^4 {\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^8 -{\xi_{20}}^6 {\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^8 -{\xi_{20}}^6
{\xi_{20}}^5 {\xi_{20}}^5 -{\xi_{20}}^5 -{\xi_{20}}^5 {\xi_{20}}^5 -{\xi_{20}}^5 {\xi_{20}}^5 {\xi_{20}}^5 -{\xi_{20}}^5
{\xi_{20}}^6 {\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^2 -{\xi_{20}}^4 {\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^2 -{\xi_{20}}^4
{\xi_{20}}^7 {\xi_{20}}^7 {\xi_{20}} {\xi_{20}}^9 {\xi_{20}}^3 -{\xi_{20}}^7 -{\xi_{20}} -{\xi_{20}}^9 -{\xi_{20}}^3
{\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^2 {\xi_{20}}^8 {\xi_{20}}^4 -{\xi_{20}}^6 -{\xi_{20}}^2
{\xi_{20}}^9 {\xi_{20}}^9 {\xi_{20}}^7 {\xi_{20}}^3 {\xi_{20}} -{\xi_{20}}^9 -{\xi_{20}}^7 -{\xi_{20}}^3 -{\xi_{20}}

このとき,「ガロア群 G の部分群」と「体\mathbb{Q}({\xi_{20}})の部分体」との関係は,以下の通り;
\{\ e\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}})=\{\ a+b{\xi_{20}}+c{\xi_{20}}^2+d{\xi_{20}}^3+e{\xi_{20}}^4+f{\xi_{20}}^5+g{\xi_{20}}^6+h{\xi_{20}}^7\ \}
\{\ e,\ \sigma^{11}\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}^2)=\{\ a+b{\xi_{20}}^2+c{\xi_{20}}^4+d{\xi_{20}}^6\ \}
\{\ e,\ \sigma^9\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}+{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{5}-1}{2}i)=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\{\ a+b\sqrt{5}+ci+d\sqrt{5}i\ \}
\{\ e,\ \sigma^{19}\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}-{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2})=\{\ a+b\sqrt{10+2\sqrt{5}}+c\sqrt{5}+d\sqrt{10-2\sqrt{5}}\ \}
\{\ e,\ \sigma^9,\ \sigma^{13},\ \sigma^{17}\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}^5)=\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}
\{\ e,\ \sigma^9,\ \sigma^{11},\ \sigma^{19}\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}^2-{\xi_{20}}^8)=\mathbb{Q}(\frac{\sqrt{5}+1}{2})=\{\ a+b\sqrt{5}\ \}
\{\ e,\ \sigma^{3},\ \sigma^{7},\ \sigma^{9}\ \} \mathbb{Q}({\xi_{20}}+{\xi_{20}}^3+{\xi_{20}}^7+{\xi_{20}}^9)=\mathbb{Q}(\sqrt{5}i)=\{\ a+b\sqrt{5}i\ \}
G \mathbb{Q}



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コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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