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具体例2

最終更新：2008年01月02日 22:26

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具体例2：既約多項式 $x^{4}+1$ の零点による拡大体（ $x^{8}=1$ による円分体）

$\mathbb{Q}$ 上の既約方程式 $x^{4}=-1$ の解は $x=\frac{{\pm}1{\pm}i}{\sqrt{2}}$ の4個である。
（これらはすべて，方程式 $x^{8}=1$ の解である。）
ここで， $\frac{1{+}i}{\sqrt{2}}$ を ${\xi_8}$ とおくと，4個の解は $\pm{\xi_8},\ \pm{\xi_8}^3$ である。

$\mathbb{Q}$ の4次ガロア拡大体
　 $\mathbb{Q}({\xi_8})=\{\ a+b{\xi_8}+c{\xi_8}^2+d{\xi_8}^3\ |\ a,\ b,\ c,\ d\in\mathbb{Q}\ }$
を考える。

$\mathbb{Q}({\xi_8})$ の写像 $\sigma^n$ を
　　 $\sigma^n({\xi_8})={\xi_8}^n$
で定義すると，
$\mathbb{Q}({\xi_8})$ の $\mathbb{Q}$ 上のガロア群 $G$ は
　　 $G= \{\ e,\ \sigma^3,\ \sigma^5,\ \sigma^7\ \}$

	$e$	$\sigma^3$	$\sigma^5$	$\sigma^7$
1	1	1	1	1
${\xi_8}$	${\xi_8}$	${\xi_8}^3$	$-{\xi_8}$	$-{\xi_8}^3$
${\xi_8}^2$	${\xi_8}^2$	$-{\xi_8}^2$	${\xi_8}^2$	$-{\xi_8}^2$
${\xi_8}^3$	${\xi_8}^3$	${\xi_8}$	$-{\xi_8}^3$	$-{\xi_8}$

このとき，「ガロア群 $G$ の部分群」と「体 $\mathbb{Q}({\xi_8})$ の部分体」との関係は，以下の通り；

$\{\ e\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_8})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\{\ a+b\sqrt{2}+ci+d\sqrt{2}i\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^3\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_8}+{\xi_8}^3)=\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{\ a+b\sqrt{2}i\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^5\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_8}^2)=\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}$
$\{\ e,\ \sigma^7\ \}$	$\mathbb{Q}({\xi_8}-{\xi_8}^3)=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{\ a+b\sqrt{2}\ \}$
$\{ e,\ \sigma^3,\ \sigma^5,\ \sigma^7 \}$	$\mathbb{Q}$