数論 > 拡大体とその部分体 > 具体例2


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具体例2:既約多項式 x^{4}+1 の零点による拡大体( x^{8}=1 による円分体)


\mathbb{Q}上の既約方程式 x^{4}=-1 の解は x=\frac{{\pm}1{\pm}i}{\sqrt{2}} の4個である。
(これらはすべて,方程式 x^{8}=1 の解である。)
ここで,\frac{1{+}i}{\sqrt{2}}{\xi_8} とおくと,4個の解は \pm{\xi_8},\ \pm{\xi_8}^3 である。

\mathbb{Q} の4次ガロア拡大体
 \mathbb{Q}({\xi_8})=\{\ a+b{\xi_8}+c{\xi_8}^2+d{\xi_8}^3\ |\ a,\ b,\ c,\ d\in\mathbb{Q}\ }
を考える。

\mathbb{Q}({\xi_8}) の写像 \sigma^n
  \sigma^n({\xi_8})={\xi_8}^n
で定義すると,
\mathbb{Q}({\xi_8})\mathbb{Q}上のガロア群G
  G= \{\ e,\ \sigma^3,\ \sigma^5,\ \sigma^7\ \}

  e \sigma^3 \sigma^5 \sigma^7
1 1 1 1 1
{\xi_8} {\xi_8} {\xi_8}^3 -{\xi_8} -{\xi_8}^3
{\xi_8}^2 {\xi_8}^2 -{\xi_8}^2 {\xi_8}^2 -{\xi_8}^2
{\xi_8}^3 {\xi_8}^3 {\xi_8} -{\xi_8}^3 -{\xi_8}

このとき,「ガロア群 G の部分群」と「体\mathbb{Q}({\xi_8})の部分体」との関係は,以下の通り;
\{\ e\ \} \mathbb{Q}({\xi_8})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)=\{\ a+b\sqrt{2}+ci+d\sqrt{2}i\ \}
\{\ e,\ \sigma^3\ \} \mathbb{Q}({\xi_8}+{\xi_8}^3)=\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)=\{\ a+b\sqrt{2}i\ \}
\{\ e,\ \sigma^5\ \} \mathbb{Q}({\xi_8}^2)=\mathbb{Q}(i)=\{\ a+bi\ \}
\{\ e,\ \sigma^7\ \} \mathbb{Q}({\xi_8}-{\xi_8}^3)=\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{\ a+b\sqrt{2}\ \}
\{ e,\ \sigma^3,\ \sigma^5,\ \sigma^7 \} \mathbb{Q}




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コメント:
  • コメントは,こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45)








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