http://www32.atwiki.jp/300000/ 参拾萬仮想大学 ja 2011-02-01T22:59:28+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/15.html 仮想大学 [ [[トップ>参拾萬仮想大学]] ] 数学科 -[[嘘ニュース]] -[[数論]] -[[４次元講座]] -[[美しき等式たち]] -[[驚くべき等式たち]] -[[驚くべき定理たち]] -[[数学書目録]] -[[数学PCソフトリンク]] -[[TeXリンク]] ---- -[[更新履歴]] -[[管理者へメール>http://www32.atwiki.jp/300000/contact]] ---- #center(){&ref(http://www.300000.net/osaqicon.gif)} ---- @wiki -[[@wikiトップページ>>http://atwiki.jp]] -[[@wiki編集ガイド>>http://atwiki.jp/guide/]] //-[[@wiki 便利ツール >>http://atwiki.jp/tools/]] wikimedia -[[ヘルプ:数式の書き方>http://meta.wikimedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%97:%E6%95%B0%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%9B%B8%E3%81%8D%E6%96%B9]] 2011-02-01T22:59:28+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/17.html *数学科 -[[嘘ニュース]]（作りかけ。当分は放置の予定。） -[[数論]]（作りかけ。&font(red){ただいま，絶好調に更新中。}） -[[４次元講座]]（作りかけ。当分は放置の予定。） -[[美しき等式たち]]（作りかけ。当分は放置の予定。） -[[驚くべき等式たち]]（作りかけ。当分は放置の予定。） -[[驚くべき定理たち]]（作りかけ。当分は放置の予定。） -[[数学書目録]]（作りかけ。&font(red){少しずつ更新していく予定。}） -[[数学PCソフトリンク]]（作りかけ。&font(red){少しずつ更新していく予定。}） -[[TeXリンク]]（自分のための備忘録。作りかけ。） //-[[美しき定理たち]] *参拾萬仮想大学について 2007年11月23日に[[他のアドレス>http://www29.atwiki.jp/osaq/]]でコンテンツを作り始め，2007年12月18日にここに引っ越してきました。 このサイトはウィキ（wiki）で作成していますが，&font(red){編集は管理者にしかできません}。 作り始めてからまだ日が浅いため，現時点では中身はまだまだスカスカです。 -[[更新履歴]] -[[管理者へメールを書く>http://www32.atwiki.jp/300000/contact]] *俺用のメモ -[[メモ]]（管理者以外閲覧不可） #center(){&ref(http://www.300000.net/osaqicon.gif)} ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2011-02-01T22:59:14+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/37.html *$$\mathbb{Q}(i)$$ における素数 $$p$$ の運命（ただし$$p\neq2$$） $$p=(a+bi)(a-bi)$$ なる $$a,\ b\in\mathbb{Z}$$ が存在するための必要十分条件は $$p$$ を $$4$$ で割ったときの余りが $$1$$ であること。 |素数|余り|分解例（分解は一意ではない）| |3|3|×| |5|1|$$5=2^2+1^2=(2+i)(2-i)$$| |7|3|×| |11|3|×| |13|1|$$13=3^2+2^2=(3+2i)(3-2i)$$| |17|1|$$17=4^2+1^2=(4+i)(4-i)$$| |19|3|×| |23|3|×| |29|1|$$29=5^2+2^2=(5+2i)(5-2i)$$| |31|3|×| |37|1|$$37=6^2+1^2=(6+i)(6-i)$$| |41|1|$$41=5^2+4^2=(5+4i)(5-4i)$$| |43|3|×| |47|3|×| |53|1|$$53=7^2+2^2=(7+2i)(7-2i)$$| |59|3|×| |61|1|$$61=6^2+5^2=(6+5i)(6-5i)$$| |67|3|×| |71|3|×| |73|1|$$73=8^2+3^2=(8+3i)(8-3i)$$| |79|3|×| |83|3|×| |89|1|$$89=8^2+5^2=(8+5i)(8-5i)$$| |97|3|×| -分解の仕方は一意ではない…… $$\mathbb{Q}(i)$$ は $$\pm i$$ を単数に持つため。 *誤りを見つけたらコメントとして記入してください。 #comment(below,noname,size=100) - 普通、分解の仕方が一意か否かは\mathbb{Z}[i]が一意分解環かどうかで区別しませんか？（つまり単数倍の差は分解の一意性を考えるときに無視しませんか？） (2010-06-05 23:16:31) - コメントは，こんな風に書き込まれます。 (2007-12-30 16:25:45) ----- [[2次体に関する類体論に戻る>数論/2次体に関する類体論]] ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2010-06-05T23:16:31+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/47.html &bold(){★数式の記述を実験中。} 誤りとしか見えないが，解釈によっては正しいと言える等式を紹介するページ。 *$$p$$進数体$$\mathbb{Q}_p$$ -$$\mathbb{Q}_2$$ において， $$1+2+4+8+16+32+\cdots=-1$$ -$$\mathbb{Q}_3$$ において， $$1+3+9+27+81+243+\cdots=-\frac{1}{2}$$ -$$\mathbb{Q}_5$$ において， $$1+5+25+125+625+3125+\cdots=-\frac{1}{4}$$ *リーマン・ゼータ関数$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$$の値 -$$\zeta(-1)=1+2+3+4+5+6+\cdots=-\frac{1}{12}=-\frac{1}{2^2\times3}$$ -$$\zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+\cdots=0$$ -$$\zeta(-3)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots=\frac{1}{120}=\frac{1}{2^3\times3\times5}$$ -$$\zeta(-4)=1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4+\cdots=0$$ -$$\zeta(-5)=1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+6^5+\cdots=-\frac{1}{252}=-\frac{1}{2^2\times3^2\times7}$$ -$$\zeta(-6)=1^6+2^6+3^6+4^6+5^6+6^6+\cdots=0$$ *その他のゼータの値(?) …… まだ勉強不足です。 -$$1-2+3-4+5-6+\cdots=\frac{1}{4}$$ -$$1\times2\times3\times4\times5\times6\times\cdots=\sqrt{2\pi}$$ ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2009-11-29T09:36:57+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/18.html *$$\cdots 99999999$$（2008年11月30日） #region $$\cdots 99999999$$ は、初項$$9$$，公比$$10$$の無限等比級数 $$9+90+900+9000+90000+900000+9000000+\cdots$$ のことである。これをさらに，数学記号$$\sum$$を用いて $$\sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot 10^{n-1}$$ と書くと，議論に参加してくる馬鹿の割合を抑制する効果がある。 ** Dr.鬼押出の等式 $$\cdots 99999999=-1$$ ''Dr.鬼押出''によって証明されたこの等式は，''人類の至宝''などと呼ばれ，多数の素人数学者に愛されている。 以下に，この等式の証明を記す。 *** 証明1 $$\cdots 99999999=x$$ とおく。この両辺を$$10$$倍すると $$\cdots 99999990=10x$$ 辺々引いて $$9=-9x$$，したがって $$x=-1$$ （証明終） *** 証明2 無限等比級数の和の公式 $$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}$$ より $$\sum_{n=1}^{\infty} 9\cdot10^{n-1}=\frac{9}{1-10}=\frac{9}{-9}=-1$$ （証明終） *** 証明3 $$\cdots 99999999$$ に $$1$$ を加えれば， $$\cdots 99999999+1=\cdots 00000000$$ ここで右辺は $$0+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots$$ のことであり，当然ながら$$0$$に収束する。すなわち $$\cdots 99999999+1=0$$ 左辺の$$+1$$を右辺に移項すれば $$\cdots 99999999=-1$$ （証明終） *** 証明4 -$$108\div9=12$$ -$$1008\div9=112$$ -$$10008\div9=1112$$ -$$100008\div9=11112$$ -$$1000008\div9=111112$$ -$$10000008\div9=1111112$$ -$$100000008\div9=11111112$$ などから，数学的帰納法により -$$\cdots 00000008\div9=\cdots 11111112$$ が示される。ここで左辺の $$\cdots 00000008$$は $$8+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots$$ のことであり，当然ながら$$8$$に収束する。したがって $$8\div9=\cdots 11111112$$ すなわち $$\frac{8}{9}=\cdots 11111112$$ ここで，両辺から$$1$$を引くと $$-\frac{1}{9}=\cdots 11111111$$ この両辺に$$9$$を乗ずれば $$-1=\cdots 99999999$$ （証明終） *** 証明5 -$$99\times 99=9801$$ -$$999\times 999=998001$$ -$$9999\times 9999=99980001$$ -$$99999\times 99999=9999800001$$ -$$999999\times 999999=999998000001$$ などから，数学的帰納法により -$$\cdots 99999999\times \cdots 99999999=\cdots 00000001$$ が示される。ここで右辺の $$\cdots 00000001$$ は $$1+0\times10+0\times100+0\times1000+0\times100000+\cdots$$ のことであり，当然ながら$$1$$に収束する。したがって $$\cdots 99999999\times \cdots 99999999=1$$ すなわち $$(\cdots 99999999)^2=1$$ よって $$\cdots 99999999=\pm 1$$ だが，明らかに $$\cdots 99999999\neq 1$$ である。したがって $$\cdots 99999999=-1$$ （証明終） **Dr.鬼押出の等式の応用 -1日目に，消費者金融から9円借りる -2日目に，消費者金融から90円借りる -3日目に，消費者金融から900円借りる -4日目に，消費者金融から9000円借りる -5日目に，消費者金融から90000円借りる 以下同様に，$$n$$日目に消費者金融から$$9\times10^{n-1}$$円借りる作業を永遠に続けると，極限的には消費者金融にお金を$$1$$円貸していることになる。（ただし，通常は消費者金融の資金が底をついた時点でこの作業を中断せざるを得なくなり，莫大な借金を抱えることになる。ご利用は計画的に。） #endregion *嘘発見器　信頼性に疑問（2004年10月27日） #region **ここ数年の科学技術の進歩により，格段に信頼性が上がったとされてきた最近の嘘発見器．しかし，被験者が言う文章によってはほとんどの場合に過った判定をしてしまうことが，北海道大学の鬼押出教授らの研究によってわかった．「我が社の嘘発見器の信頼度は99.99％以上」などとしている各メーカーの広告に対して，鬼押出教授らは日本広告審査機構(JARO)に審査を要求する方針だ．（[[39面>嘘ニュース/39面]]に関連記事） 鬼押出教授らは，ジャンボ宝くじを購入したが末等しか当たらなかった人々を日本全国から無作為に１万人抽出し，彼らに「もし私が１等が当選していたら，その全ての当選金をユニセフに寄付していた」と言ってもらう実験をおこなった．論理学において「仮定が偽だった場合，結論の真偽に関わらずその命題は真である」ことは常識．したがって「１等に当選した」という仮定が偽となる人々が前述の文章を言った場合には，その文章は「真」と判定されなければならないのだが，実験の結果，すべての嘘発見器がすべての被験者に対して「嘘」と判定した． 鬼押出教授によれば，同じ被験者に「聖徳太子が今も生き続けていたら，今年でちょうど二十歳だね」，「2001年9月11日に同時多発テロが起こっていなかったら，今頃私たちは木星で生活していたのになぁ」などの突拍子のないことを言ってもらっても，同様の結果が得られたという． これを受け，容疑者の取り調べなどで嘘発見器を頻繁に利用してきた警視庁や各警察署では，「ほぼ確実に過った判定をする可能性がある最新機種より，当たる確率と当たらない確率が半々の機種の方がまだまし」（警視庁幹部）と，最新の嘘発見器をすべて処分し，近所の小中学生が夏休みの自由研究で作った嘘発見器を早々に導入する方針を明らかにした． #endregion *円周率の有理数化に成功（2004年10月09日） #region **円周率はこれまで無理数であるとされてきたが，ある条件下においては有理数になることが，マサチューセッツ工科大学のオニオシダシ教授によって発見された．よく知られた定数に疑問を投げかけられた数学界に，衝撃が走った．（[[39面>嘘ニュース/39面]]に関連記事） 円周率とは円の周と直径の長さの比のことで，その値3.14159265……は，近所の大人たちから神童などとおだてられて調子にのっている小学生を中心に，これまで長い間親しまれてきた．円周率はただ無理数なだけでなく，代数方程式の解にならない「超越数」であることがドイツの数学者リンデマンによって既に証明されているが（1882年），しかし今回の発見は，その証明に欠陥があることを浮き彫りにした． 円とは「ある定点Cからの距離が等しい点Pの集合」として定義される図形のこと．平面上の2点 $$(x_{1},y_{1})$$，$$(x_{2},y_{2})$$ の距離は $$ \sqrt{(|x_{1}-x_{2}|^{2}+|y_{1}-y_{2}|^{2})} $$ と定義するのが一般的だが，数学では「距離の公理」を満たす関数は距離とみなしてよいため，その2点の距離を他の数式で定義することも可能である．そこで，平面上の2点 $$(x_{1},y_{1})$$，$$(x_{2},y_{2})$$ の距離を $$ \max\{|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|\}$$ と定義してみると，Cを定点とし，Cからの距離が定数 r であるような点Pの集合は，一辺の長さが 2r の正方形となる．しかし見た目は正方形でも，この図形は円の定義を満たしているのである．そして，この図形の周の長さ 8r と直径 2r との比の値は 4 となり，無理数ではなくなる． オニオシダシ教授によれば，「これはあくまで一例に過ぎない．距離の定義を変更すれば，円周率はさまざまな値を取り得る．」 そもそも円周率は，すべての円において円周の長さと直径の比が一定となることを前提として定義されているが，今回の発見は，今までの円周率の定義が Well-defined（＝矛盾なく定義された状態）ではなかったことを明らかにした．もっとも基本的な図形の１つである円に関する定義が曖昧だったことを白日の目に晒された数学界はいま，蜂の巣をつついたような騒ぎになっている．しかし一方で「距離の定義を変更すれば値が異なるのは当然」という冷ややかな意見もあり，数学界の今後の動きが注目される． また，前回の学習指導要領改定で「円周の長さを計算によって求めるときには円周率は３としてよい」としていた文部科学省では，次期改定にて円周率の値を４とすることを早くも検討し始めた模様． #endregion ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2008-11-29T12:09:02+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/48.html こういうリンク集は意外と少ないようなので，作ってみました。 &font(red){（作り始めたばかりなので，現時点ではまったく不完全ですが……。）} *[[TeX(pLaTeX2e)>TeXリンク]] → 詳しくは[[TeXリンク]]で。 ★このページの以下のリンクはすべて外部リンクです。 *数式処理ソフト -Mathematica -Maple -[[カルキングＪ2>>http://www.justsystems.com/jp/calkingj/]] …… 市販パッケージソフト（ダウンロード販売もあり） -Devire6 -MuPAD -Mathmedia -Maxima …… フリーウェア -Risa/Asir *グラフ表示ソフト -[[GNUPLOT>>http://www.gnuplot.info/]] …… TeXと相性がよい。フリーウェア -[[GRAPES>>http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/volume.html]] …… フリーウェア -[[FunctionView>>http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/]] …… フリーウェア *幾何ソフト -[[Cinderella>>http://cinderella.de/tiki-index.php]] …… 現在はフリーウェア（2008～） -[[KidsCindy>>http://www11.atwiki.jp/kidscindy/]] …… フリーウェア -[[GC(Geometric Constructor)>>http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/index.htm]] …… フリーウェア -[[Cabri Geometry ll Plus>>http://www.naoco.com/soft.htm]] …… 市販パッケージソフト -[[Cabri 3D v2>>http://www.naoco.com/soft.htm]] …… 市販パッケージソフト ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2008-11-28T08:50:44+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/46.html ここでは，証明を知ってもなお不思議さが残るような定理を紹介します。 （もっといろいろあるハズですから，思い出すたびに書き加えますよ。） *留数定理（複素関数論） 複素平面内の閉曲線 $$C$$ の内部の領域を $$D$$ とし， $$D$$ 内における関数 $$f(z)$$ の特異点を $$z_1,\ z_2,\ \ldots,\ z_n$$ とする。 また，各特異点における関数 $$f(z)$$ の留数を $$\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_r}$$ とする。 このとき， 　　$$\oint\nolimits_{C}f(z)\, dz = 2\pi i (\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_1}+\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_2}+\cdots+\mathrm{Res}[f(z)]_{z=z_n})$$ -$$D$$の内部に特異点が1つもない場合の等式が「コーシーの積分定理」に他ならない。 *平方剰余の相互法則（初等整数論） -[[Wikipedia>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E7%9B%B8%E4%BA%92%E6%B3%95%E5%89%87]] を参照のこと。 *バナッハ・タルスキの定理 -[[Wikipedia>>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9]] を参照のこと。 ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2008-11-28T08:47:53+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/27.html &bold(){★数式の記述を実験中。} *$$e^z = 1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots$$ ここで，$$e$$ は -$$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$$ の値 か，あるいは -$$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=1$$ を満たす $$a$$ の値 のいずれかで定義される定数（一方を定義とすれば，他方は定理となる）であるが，上の式に$$z=1$$を代入することによって -$$e = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$$ という等式も得られる。 *$$e^{iz} = \cos{z}+i\sin{z}$$ なぜなら， -$$\sin{z} = \frac{z}{1!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots$$ -$$\cos{z} = 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots$$ であるから。 *$$e^{\pi i} = -1$$ いわゆる「オイラーの等式」です。 *連分数 [[http://homepage3.nifty.com/y_sugi/]]が素晴らしいですね ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2008-01-09T20:16:11+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/49.html 2008-01-06T19:35:14+09:00 http://www32.atwiki.jp/300000/pages/45.html 自分のために作ったリンク集です。 *何はなくとも…… -[[TeX Wiki>>http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texwiki/]] *秀丸マクロ -[[祝鳥（のりてふ）>>http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~abenori/mycreate/fortex.html]] -飛鳥（ひてふ）（←これは[[野鳥（やてふ）>>http://www.yatex.org/]]内にある） *LaTeX で多書体（[[ワープロユーザーのためのLaTeX入門>>http://www.klavis.info/texindex.html]]内） -[[既存のパッケージを使う方法>>http://www.klavis.info/fontnew1.html]] -[[任意のフォントを扱う方法>>http://www.klavis.info/fontnew2.html]] *画像の取り込み，EPS，PDF -[[PDFファイルの作り方（dvipdfm）>>http://hashi4.civil.tohoku.ac.jp/soft/node28.html]] -[[WindowsでのTeX用仮想EPSプリンタの作成方法>>http://keijisaito.info/arc/TeX/v_eps_printer.htm]] -[[ExcelグラフをきれいにTeXからPDFへ入れ込む方法>>http://keijisaito.info/arc/TeX/vector_pdf.htm]] -[[Excel表をきれいにTeXからPDFへ入れ込む方法>>http://keijisaito.info/arc/TeX/ve_exta_pdf.htm]] -[[画像や写真をTeXからPDFへ入れ込む方法>>http://keijisaito.info/arc/TeX/picture_eps.htm]] -[[フリーウェアComPDF，SepPDFなど>>http://www.ne.jp/asahi/foresth/home/]] *TeXマクロ -[[emath.sty(by tDB)>>http://homepage3.nifty.com/emath/]] *METAFONT -[[TeX&MetaPostであそぼう>>http://homepage2.nifty.com/domae/]] ---- ---- #center(){&font(red){★　以下は広告です　★}} ---- 2008-01-06T12:48:28+09:00